概述

B-S 期权定价模型，又称 Black-Scholes 期权定价模型，是金融领域最重要的定价模型之一。该模型由 Fischer Black 和 Myron Scholes 于 1973 年提出，用于计算欧式期权的理论价格。

模型假设

B-S 期权定价模型基于以下假设：

• 股票价格服从几何布朗运动，即股票价格的对数收益率服从正态分布。
• 无风险利率是已知的常数。
• 期权的执行价格和到期日是已知的。



• 交易成本和税收不考虑。

模型推导

1. 构建期权价值的风险中性概率分布

假设在到期日，股票价格为 S，则看涨期权的价值为 max(S - K, 0)，看跌期权的价值为 max(K - S, 0)，其中 K 为执行价格。

为了计算期权的理论价格，我们需要构建一个风险中性概率分布，使股票价格在到期日的所有可能值下，期权价值的期望值为零。

2. 引入风险中性资产组合

为了构建风险中性概率分布，我们需要引入一个风险中性资产组合，该组合由股票和无风险资产组成，且该组合的收益率等于无风险利率。

令 δ 为股票在资产组合中的权重，则资产组合的价值为：

V = δS + (1 - δ)B

其中 B 为无风险资产的价值。

3. 构造风险中性概率密度函数

为了使资产组合的收益率等于无风险利率，我们需要构造一个风险中性概率密度函数 f(S)，使以下方程成立：

rV = δμS + (1 - δ)rB

其中 r 为无风险利率，μ 为股票价格的对数收益率的期望值。

解得风险中性概率密度函数为：

f(S) = (1 / (Sσ√2πt)) exp(-(ln(S/S0) - (r - σ^2/2)t)^2 / (2σ^2t))

其中 S0 为股票现价，σ 为股票价格的对数收益率的标准差，t 为期权到期时间。

4. 计算期权价格

利用风险中性概率密度函数，我们可以计算期权价格。对于看涨期权，价格为：

C = S0N(d1) - Ke^(-rT)N(d2)

对于看跌期权，价格为：

P = Ke^(-rT)N(-d2) - S0N(-d1)

其中：

d1 = (ln(S0/K) + (r + σ^2/2)T) / (σ√T)

d2 = d1 - σ√T

应用

B-S 期权定价模型广泛应用于期权交易、风险管理和投资组合优化等领域。它提供了期权价格的理论依据，帮助投资者做出更明智的决策。

需要注意的是，B-S 期权定价模型是一个理论模型，实际交易中可能存在偏差。影响期权价格的因素还有很多，例如流动性、情绪和市场事件等。在使用 B-S 期权定价模型时，需要结合实际情况进行分析。